Для каких целых положительных N существует такая периодическая функция f(x), определенная на всей вещественной оси, и ее N-я производная g(x) (также определенная на всей оси), что верно:
f(x)*g(x)>=0 для всех вещественных x?

что-то я такую функцию представить не могу

(1) периодическую или имеющую N-ю производную?

хотя могу

Да, уточнение f(x) должна быть не постоянной

ну вот: для N=1 такой нет, ибо: f(x)^2 - периодическая также и [f(x)^2]'=2*f(x)*f'(x) не может быть всегда неотрицательно
для N=4 такая есть: f(x)=sin(x)

ну как минимум, оотя подумать надо

ну и естественно все кратные 4 удовлетворяют условию (пример с тем же sin(x))