Последовательность a[n] удовлетворяет условию |a[n+m]-a[n]-a[m]| < 1/(n+m+1) для всех натуральных n,m. Доказать, что a[n] - арифметическая прогрессия.

Пусть а[n] арифметическая прогрессия
Запишем неравенство в виде

|a[n+1]-а[n]-a[1]|*(n+2)<1

но для арифметической прогрессии а[n+1]-a[n]=D постоянное число для любого n

с другой стороны a[1] это так же постоянное число

Получаем
|const|*(n+2)<1 для любого n, что является абсурдом
т.к. достаточно взять n>{1/|D-a[1]|} чтобы неравенство не выполнялось.

Я доказал, что a[n] это уж точно не арифметическая прогрессия

(1) Случай D=a[1] не учел.
Ну тогда если это и арифметическая прогрессия, то непременно вида
a[n]=nD

(0) что-то мне подсказывает, что это не так, что-то типа

a[n]=1/(n!)

(3) не получится, посчитай a[n+1] - a[n] - a[1]

Ну тогда
|a[n+1]-a[n]-a[1]| < 1/(n+2)

-1/(n+2)<a[n+1]-a[n]-а[1]<1/(n+2)

a[1]-1/(n+2)<a[n+1]-a[n]<а[1]+1/(n+2)

Сделав n достаточно большим можем довести это неравенство так, что
a[1]-1/(n+2) и а[1]+1/(n+2) будут одного знака, пусть это будет положительный знак

С другой стороны
a[2]+1/(n+2)>a[n+1]-a[n-1]>а[2]-1/(n+2)

Отнимаем от второго неравенства первое, получаем

а[2]-a[1]>а[n]-a[n-1]>a[2]-a[1]

А это значит, что а[n]-a[n-1]=a[2]-a[1] т.е. разница между членам ряда = постоянная

(5) вычитание неправильно написал. на самом деле получается
a[2]-a[1]+2/(n+2) > a[n]-a[n-1] > a[2]-a[1]-2/(n+2)

(6) да ты прав

(5), (6). Ок, всё верно.

(8) Что верно? Ничего еще не доказали

Готово.
1-я часть доказательства
Докажем что
a[2]-a[1]+2/(n+2) > a[k]-a[k-1] > a[2]-a[1]-2/(n+2)
Док-во
|a[k+1]-a[k]-a[1]| < 1/(k+2)
Значит
a[1]-1/(k+2)<a[k+1]-a[k]<а[1]+1/(n+2)

но с другой стороны
|a[k+1]-a[k-1]-a[2]| < 1/(k+2)
Значит
a[2]+1/(k+2)>a[k+1]-a[k-1]>а[2]-1/(k+2)

Отнимаем от второго неравенства первое
a[2]-a[1]+2/(k+2)>a[k]-a[k-1]>а[2]-a[1]-2/(k+2)

Первая часть доказана
===============================================
2-я часть доказательства
В исходном неравенстве раскроем модуль
-1/(n+m+1)<a[n+m]-a[n]-a[m]<1/(n+m+1)
и одновременно
1/(n+m+2)>a[n+m+1]-a[n]-a[m+1]>-1/(n+m+2)

Отнимаем от первого неравенства, второе
-1/(n+m+2)-1/(n+m+1)<a[m+1]-a[m]-{a[n+m+1]-a[n+m]}<1/(n+m+2)+1/(n+m+1)

или перенесем {a[n+m+1]-a[n+m]} получим

{a[n+m+1]-a[n+m]}-1/(n+m+2)-1/(n+m+1)<a[m+1]-a[m]<{a[n+m+1]-a[n+m]}+1/(n+m+2)+1/(n+m+1)

Теперь воспользуемся неравенством доказанным в части 1 о том, что
a[2]-a[1]+2/(n+m+4)>a[n+m+2]-a[n+m+1]>а[2]-a[1]-2/(n+m+4)

получаем
а[2]-a[1]-2/(n+m+4)-1/(n+m+2)-1/(n+m+1)<a[m+1]-a[m]<1/(n+m+2)+1/(n+m+1)+а[2]-a[1]+2/(n+m+4)

Теперь устремляя n в бесконечность видим, что a[m+1]-a[m] мы можем сделать сколь угодно близким к а[2]-a[1]
а значит a[m+1]-a[m]=а[2]-a[1] для любого m