Дан некий треугольник ABC.
Пусть k1 такая прямая, что прямые, зеркально симметричные сторонам треугольника относительно k1, пересекаются в одной точке.
Пусть k2 и k3 две другие прямые с тем же свойством.

Доказать, что прямые k1, k2, k3 пересекаются в одной точке.

К своему стыду, я себе это даже представить не могу, не то что доказать.

верните задачку про котят

условие неверное, читать предложение условия так:

Пусть k1 такая прямая, что прямые, зеркально симметричные k1 относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке.

(3) А нарисовать? слабо?

(4) например, в правильном треугольнике берем медиану(биссектрису, высоту) - ее отражения относительно сторон пересекутся в одной точке - вершине
аналогично для других медиан, все они пересекаются в одной точке

Но нужно доказать это для произвольного треугольника

Кстати, для правильного треугольника есть ли другие такие прямые?

(5) Хренова ты рисуеш обять буквы получились)

А что такое "зеркальная симметрия"? осеву помню, центральную тоже. зеркальную - не помню...

(7) плохо
но не смертельно - на плоскости осевая совпадает с зеркальной ))

+(8) wiki:Отражение_(геометрия)

(0) k1, k2, k3 пересекутся в цетре масс, но у тебя симметрия схлопнула треугольник в точку, что невозможно
(5) не верно

(10) чего? кстати ты учел (3) ?

"зеркально симметричные" что? или это термин такой?

а стоп, прямые же

(12) зеркально симметричные прямой k1 относительно сторон треугольника

(11) нет ) но решение это не меняет
(5) нет, это медианы, любой треугольник без потери общности можно считать правильным

(15) насчет медиан не согласен
(11) решения я пока вообще не вижу

это точка пересечения продолжений высот
а вот с (5) хуже, точно все условие?

(17) что там в (5) не так? там просто пример

(0) " прямые, зеркально симметричные сторонам треугольника относительно k1" - тогда они образуют точно такой же треугольник, только симметричный.

k1 - биссектриса 1 угла,
k2 - биссектриса 2 угла
k3 - биссектриса 3 угла

Они пересекутся в 1 точке, но это частный случай

я про единственность решения в (5) еще и вопрос)
с медианами поторопился, не вчитался в (3)
(19) еще один) читай (3)

1.Рассмотрим указанное преобразование для точки - получим три точки (для симметрии относительно каждой стороны)
2.Возьмем точку пересечения прямых симметричных k1, очевидно, что три точки ей симметричные лежат на k1, а следовательно на одной прямой.
3.Предположим, что k1,k2 и k3 образуют треугольник XYZ (т.е. не лежат на одной прямой), тогда имеем три треугольника X'Y'Z' X"Y"Z" и X'''Y'''Z''' образованные всего лишь тремя прямыми (X'X"X''' Y'Y"Y''' Z'Z"Z''') - смотри п.2, что невозможно. Противоречие. Следовательно ЕСЛИ такие прямые СУЩЕСТВУЮТ, то пересекаются в одной точке.
Про существование и единственность ничего сказать нельзя (из данного доказательства)

(22) не согласен с фразой "тогда имеем три треугольника ... образованные всего лишь тремя прямыми ..., что невозможно" - в общем случае вполне возможно

(23) да согласен, погорячился
Однако, имеем 3 равных треугольника (с точностью до зеркальной симметрии), вершины которых лежат на 3 прямых. Представить такое на плоскости, кроме случая, когда прямые параллельны, у меня не получается (может фантазии не хватает).

попробовал нарисовать, розовая - прямая k1, зеленые - прямые, зеркально симметричные относительно сторон треугольника http://zalil.ru/32958539

(22) лучше б просто написал "очевидно" ) что за прямые, что имеем, брр..))
ты утверждаешь, что Х, точка пересечения к1 и к2 (например?), которая отражается в иксы штрихи, это точка пересечения прямых, полученных отражением к1?

имхо, очевидно, что такие прямые k1, k2,.... должны проходить через ортоцентр

(26) в (24) я уже исправился, точки со штрихами не являются точками пересечений данных прямых, а лишь лежат на них. И противоречия в общем случае действительно нет.

(27) так бы и писал, что только высоты треугольника являются такими прямыми.
Или есть другие подходящие варианты (проходящие через ортоцентр)?

(29) мне кажется не только высоты, но доказать не могу

(30) мое мнение - только высоты.
А откуда задача, почему в ней только 3 прямых (k1, k2, k3), а, например, не "все прямые обладающие таким свойствами"?

(31) в оригинале количество не указано )) чтоб запутать
три  - минимальное необходимое количество

так откуда оригинал?
Интересно

(33) http://www.geometry.ru/olimp/sharygin/2012/zaochn.pdf задача 15

что-то не пойму...
если взять высоту,
например AH в ABC,
то симметричная ВС прямая - это сама ВС,
симметричные АВ и АС прямые проходят через А (пересекают ось симметрии в этой точке),
как они пересекаются в одной точке?

(35) в (0) неверное условие, верная поправка в (3)