Имя: Пароль:
IT
 
Треугольник и зеркальная симметрия
0 Ненавижу 1С
 
гуру
26.03.12
09:01
Дан некий треугольник ABC.
Пусть k1 такая прямая, что прямые, зеркально симметричные сторонам треугольника относительно k1, пересекаются в одной точке.
Пусть k2 и k3 две другие прямые с тем же свойством.

Доказать, что прямые k1, k2, k3 пересекаются в одной точке.
1 orefkov
 
26.03.12
09:11
К своему стыду, я себе это даже представить не могу, не то что доказать.
2 butterbean
 
26.03.12
09:16
верните задачку про котят
3 Ненавижу 1С
 
гуру
26.03.12
09:29
условие неверное, читать предложение условия так:

Пусть k1 такая прямая, что прямые, зеркально симметричные k1 относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке.
4 shamannk
 
26.03.12
09:30
(3) А нарисовать? слабо?
5 Ненавижу 1С
 
гуру
26.03.12
09:57
(4) например, в правильном треугольнике берем медиану(биссектрису, высоту) - ее отражения относительно сторон пересекутся в одной точке - вершине
аналогично для других медиан, все они пересекаются в одной точке

Но нужно доказать это для произвольного треугольника

Кстати, для правильного треугольника есть ли другие такие прямые?
6 shamannk
 
26.03.12
10:09
(5) Хренова ты рисуеш обять буквы получились)
7 Mikeware
 
26.03.12
10:09
А что такое "зеркальная симметрия"? осеву помню, центральную тоже. зеркальную - не помню...
8 Ненавижу 1С
 
гуру
26.03.12
10:12
(7) плохо
но не смертельно - на плоскости осевая совпадает с зеркальной ))
9 Ненавижу 1С
 
гуру
26.03.12
10:13
10 Йохохо
 
26.03.12
11:10
(0) k1, k2, k3 пересекутся в цетре масс, но у тебя симметрия схлопнула треугольник в точку, что невозможно
(5) не верно
11 Ненавижу 1С
 
гуру
26.03.12
11:11
(10) чего? кстати ты учел (3) ?
12 acsent
 
26.03.12
11:12
"зеркально симметричные" что? или это термин такой?
13 acsent
 
26.03.12
11:12
а стоп, прямые же
14 Ненавижу 1С
 
гуру
26.03.12
11:12
(12) зеркально симметричные прямой k1 относительно сторон треугольника
15 Йохохо
 
26.03.12
11:18
(11) нет ) но решение это не меняет
(5) нет, это медианы, любой треугольник без потери общности можно считать правильным
16 Ненавижу 1С
 
гуру
26.03.12
11:26
(15) насчет медиан не согласен
(11) решения я пока вообще не вижу
17 Йохохо
 
26.03.12
15:53
это точка пересечения продолжений высот
а вот с (5) хуже, точно все условие?
18 Ненавижу 1С
 
гуру
26.03.12
15:58
(17) что там в (5) не так? там просто пример
19 ptiz
 
26.03.12
16:00
(0) " прямые, зеркально симметричные сторонам треугольника относительно k1" - тогда они образуют точно такой же треугольник, только симметричный.
20 Dmitry77
 
26.03.12
16:09
k1 - биссектриса 1 угла,
k2 - биссектриса 2 угла
k3 - биссектриса 3 угла

Они пересекутся в 1 точке, но это частный случай
21 Йохохо
 
26.03.12
16:10
я про единственность решения в (5) еще и вопрос)
с медианами поторопился, не вчитался в (3)
(19) еще один) читай (3)
22 RomanYS
 
27.03.12
00:00
1.Рассмотрим указанное преобразование для точки - получим три точки (для симметрии относительно каждой стороны)
2.Возьмем точку пересечения прямых симметричных k1, очевидно, что три точки ей симметричные лежат на k1, а следовательно на одной прямой.
3.Предположим, что k1,k2 и k3 образуют треугольник XYZ (т.е. не лежат на одной прямой), тогда имеем три треугольника X'Y'Z' X"Y"Z" и X'''Y'''Z''' образованные всего лишь тремя прямыми (X'X"X''' Y'Y"Y''' Z'Z"Z''') - смотри п.2, что невозможно. Противоречие. Следовательно ЕСЛИ такие прямые СУЩЕСТВУЮТ, то пересекаются в одной точке.
Про существование и единственность ничего сказать нельзя (из данного доказательства)
23 Ненавижу 1С
 
гуру
27.03.12
08:34
(22) не согласен с фразой "тогда имеем три треугольника ... образованные всего лишь тремя прямыми ..., что невозможно" - в общем случае вполне возможно
24 RomanYS
 
27.03.12
10:23
(23) да согласен, погорячился
Однако, имеем 3 равных треугольника (с точностью до зеркальной симметрии), вершины которых лежат на 3 прямых. Представить такое на плоскости, кроме случая, когда прямые параллельны, у меня не получается (может фантазии не хватает).
25 Salimbek
 
27.03.12
11:58
попробовал нарисовать, розовая - прямая k1, зеленые - прямые, зеркально симметричные относительно сторон треугольника http://zalil.ru/32958539
26 Йохохо
 
27.03.12
13:53
(22) лучше б просто написал "очевидно" ) что за прямые, что имеем, брр..))
ты утверждаешь, что Х, точка пересечения к1 и к2 (например?), которая отражается в иксы штрихи, это точка пересечения прямых, полученных отражением к1?
27 Ненавижу 1С
 
гуру
27.03.12
13:58
имхо, очевидно, что такие прямые k1, k2,.... должны проходить через ортоцентр
28 RomanYS
 
27.03.12
14:10
(26) в (24) я уже исправился, точки со штрихами не являются точками пересечений данных прямых, а лишь лежат на них. И противоречия в общем случае действительно нет.
29 RomanYS
 
27.03.12
14:19
(27) так бы и писал, что только высоты треугольника являются такими прямыми.
Или есть другие подходящие варианты (проходящие через ортоцентр)?
30 Ненавижу 1С
 
гуру
27.03.12
14:22
(29) мне кажется не только высоты, но доказать не могу
31 RomanYS
 
27.03.12
14:40
(30) мое мнение - только высоты.
А откуда задача, почему в ней только 3 прямых (k1, k2, k3), а, например, не "все прямые обладающие таким свойствами"?
32 Ненавижу 1С
 
гуру
27.03.12
14:42
(31) в оригинале количество не указано )) чтоб запутать
три  - минимальное необходимое количество
33 RomanYS
 
27.03.12
14:43
так откуда оригинал?
Интересно
34 Ненавижу 1С
 
гуру
27.03.12
14:46
35 SUA
 
28.03.12
12:56
что-то не пойму...
если взять высоту,
например AH в ABC,
то симметричная ВС прямая - это сама ВС,
симметричные АВ и АС прямые проходят через А (пересекают ось симметрии в этой точке),
как они пересекаются в одной точке?
36 Ненавижу 1С
 
гуру
28.03.12
13:42
(35) в (0) неверное условие, верная поправка в (3)