![]() |
![]() |
|
Треугольник и зеркальная симметрия | ☑ | ||
---|---|---|---|---|
0
Ненавижу 1С
гуру
26.03.12
✎
09:01
|
Дан некий треугольник ABC.
Пусть k1 такая прямая, что прямые, зеркально симметричные сторонам треугольника относительно k1, пересекаются в одной точке. Пусть k2 и k3 две другие прямые с тем же свойством. Доказать, что прямые k1, k2, k3 пересекаются в одной точке. |
|||
1
orefkov
26.03.12
✎
09:11
|
К своему стыду, я себе это даже представить не могу, не то что доказать.
|
|||
2
butterbean
26.03.12
✎
09:16
|
верните задачку про котят
|
|||
3
Ненавижу 1С
гуру
26.03.12
✎
09:29
|
условие неверное, читать предложение условия так:
Пусть k1 такая прямая, что прямые, зеркально симметричные k1 относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке. |
|||
4
shamannk
26.03.12
✎
09:30
|
(3) А нарисовать? слабо?
|
|||
5
Ненавижу 1С
гуру
26.03.12
✎
09:57
|
(4) например, в правильном треугольнике берем медиану(биссектрису, высоту) - ее отражения относительно сторон пересекутся в одной точке - вершине
аналогично для других медиан, все они пересекаются в одной точке Но нужно доказать это для произвольного треугольника Кстати, для правильного треугольника есть ли другие такие прямые? |
|||
6
shamannk
26.03.12
✎
10:09
|
(5) Хренова ты рисуеш обять буквы получились)
|
|||
7
Mikeware
26.03.12
✎
10:09
|
А что такое "зеркальная симметрия"? осеву помню, центральную тоже. зеркальную - не помню...
|
|||
8
Ненавижу 1С
гуру
26.03.12
✎
10:12
|
(7) плохо
но не смертельно - на плоскости осевая совпадает с зеркальной )) |
|||
9
Ненавижу 1С
гуру
26.03.12
✎
10:13
|
||||
10
Йохохо
26.03.12
✎
11:10
|
(0) k1, k2, k3 пересекутся в цетре масс, но у тебя симметрия схлопнула треугольник в точку, что невозможно
(5) не верно |
|||
11
Ненавижу 1С
гуру
26.03.12
✎
11:11
|
(10) чего? кстати ты учел (3) ?
|
|||
12
acsent
26.03.12
✎
11:12
|
"зеркально симметричные" что? или это термин такой?
|
|||
13
acsent
26.03.12
✎
11:12
|
а стоп, прямые же
|
|||
14
Ненавижу 1С
гуру
26.03.12
✎
11:12
|
(12) зеркально симметричные прямой k1 относительно сторон треугольника
|
|||
15
Йохохо
26.03.12
✎
11:18
|
(11) нет ) но решение это не меняет
(5) нет, это медианы, любой треугольник без потери общности можно считать правильным |
|||
16
Ненавижу 1С
гуру
26.03.12
✎
11:26
|
(15) насчет медиан не согласен
(11) решения я пока вообще не вижу |
|||
17
Йохохо
26.03.12
✎
15:53
|
это точка пересечения продолжений высот
а вот с (5) хуже, точно все условие? |
|||
18
Ненавижу 1С
гуру
26.03.12
✎
15:58
|
(17) что там в (5) не так? там просто пример
|
|||
19
ptiz
26.03.12
✎
16:00
|
(0) " прямые, зеркально симметричные сторонам треугольника относительно k1" - тогда они образуют точно такой же треугольник, только симметричный.
|
|||
20
Dmitry77
26.03.12
✎
16:09
|
k1 - биссектриса 1 угла,
k2 - биссектриса 2 угла k3 - биссектриса 3 угла Они пересекутся в 1 точке, но это частный случай |
|||
21
Йохохо
26.03.12
✎
16:10
|
я про единственность решения в (5) еще и вопрос)
с медианами поторопился, не вчитался в (3) (19) еще один) читай (3) |
|||
22
RomanYS
27.03.12
✎
00:00
|
1.Рассмотрим указанное преобразование для точки - получим три точки (для симметрии относительно каждой стороны)
2.Возьмем точку пересечения прямых симметричных k1, очевидно, что три точки ей симметричные лежат на k1, а следовательно на одной прямой. 3.Предположим, что k1,k2 и k3 образуют треугольник XYZ (т.е. не лежат на одной прямой), тогда имеем три треугольника X'Y'Z' X"Y"Z" и X'''Y'''Z''' образованные всего лишь тремя прямыми (X'X"X''' Y'Y"Y''' Z'Z"Z''') - смотри п.2, что невозможно. Противоречие. Следовательно ЕСЛИ такие прямые СУЩЕСТВУЮТ, то пересекаются в одной точке. Про существование и единственность ничего сказать нельзя (из данного доказательства) |
|||
23
Ненавижу 1С
гуру
27.03.12
✎
08:34
|
(22) не согласен с фразой "тогда имеем три треугольника ... образованные всего лишь тремя прямыми ..., что невозможно" - в общем случае вполне возможно
|
|||
24
RomanYS
27.03.12
✎
10:23
|
(23) да согласен, погорячился
Однако, имеем 3 равных треугольника (с точностью до зеркальной симметрии), вершины которых лежат на 3 прямых. Представить такое на плоскости, кроме случая, когда прямые параллельны, у меня не получается (может фантазии не хватает). |
|||
25
Salimbek
27.03.12
✎
11:58
|
попробовал нарисовать, розовая - прямая k1, зеленые - прямые, зеркально симметричные относительно сторон треугольника http://zalil.ru/32958539
|
|||
26
Йохохо
27.03.12
✎
13:53
|
(22) лучше б просто написал "очевидно" ) что за прямые, что имеем, брр..))
ты утверждаешь, что Х, точка пересечения к1 и к2 (например?), которая отражается в иксы штрихи, это точка пересечения прямых, полученных отражением к1? |
|||
27
Ненавижу 1С
гуру
27.03.12
✎
13:58
|
имхо, очевидно, что такие прямые k1, k2,.... должны проходить через ортоцентр
|
|||
28
RomanYS
27.03.12
✎
14:10
|
(26) в (24) я уже исправился, точки со штрихами не являются точками пересечений данных прямых, а лишь лежат на них. И противоречия в общем случае действительно нет.
|
|||
29
RomanYS
27.03.12
✎
14:19
|
(27) так бы и писал, что только высоты треугольника являются такими прямыми.
Или есть другие подходящие варианты (проходящие через ортоцентр)? |
|||
30
Ненавижу 1С
гуру
27.03.12
✎
14:22
|
(29) мне кажется не только высоты, но доказать не могу
|
|||
31
RomanYS
27.03.12
✎
14:40
|
(30) мое мнение - только высоты.
А откуда задача, почему в ней только 3 прямых (k1, k2, k3), а, например, не "все прямые обладающие таким свойствами"? |
|||
32
Ненавижу 1С
гуру
27.03.12
✎
14:42
|
(31) в оригинале количество не указано )) чтоб запутать
три - минимальное необходимое количество |
|||
33
RomanYS
27.03.12
✎
14:43
|
так откуда оригинал?
Интересно |
|||
34
Ненавижу 1С
гуру
27.03.12
✎
14:46
|
(33) http://www.geometry.ru/olimp/sharygin/2012/zaochn.pdf задача 15
|
|||
35
SUA
28.03.12
✎
12:56
|
что-то не пойму...
если взять высоту, например AH в ABC, то симметричная ВС прямая - это сама ВС, симметричные АВ и АС прямые проходят через А (пересекают ось симметрии в этой точке), как они пересекаются в одной точке? |
|||
36
Ненавижу 1С
гуру
28.03.12
✎
13:42
|
(35) в (0) неверное условие, верная поправка в (3)
|
Форум | Правила | Описание | Объявления | Секции | Поиск | Книга знаний | Вики-миста |